Lineare Algebra Beispiele

$- 3 + 4 i$

Schritt 1

Berechne den Abstand von $(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 + 16}$

Schritt 2.3

Addiere $9$ und $16$ .

$r = \sqrt{25}$

Schritt 2.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$r = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 5$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

Schritt 4

Vereinfache $\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ .

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

Schritt 4.2

$- \frac{4}{3}$ ist ungefähr $- 1.\overline{3}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{4}{3}$ um und entferne den Absolutwert

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

Schritt 4.3

Berechne $\arctan (\frac{4}{3})$ .

$θ̂ = 0.92729521$

Schritt 5

Der Punkt liegt im zweiten Quadranten, da $x$ negativ und $y$ positiv ist. Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet, beginnend oben rechts.

Quadrant $2$

Schritt 6

$(a, b)$ ist im zweiten Quadranten. $θ = π - θ̂$

$θ = π - 0.92729521$

Schritt 7

Vereinfache $θ$ .

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Schritt 7.1

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 0.92729521$

Schritt 7.2

Subtrahiere $0.92729521$ von $3.14159265$ .

$2.21429743$

Schritt 8

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 9

Setze $r$ , $n$ und $θ$ in die Formel ein.

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Schritt 9.1

Ersetze durch dezimale Näherung.

${(5)}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{4}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $0.92729521$ von $3.14159265$ .

${(5)}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{4}$

Schritt 9.3

Kombiniere ${(5)}^{\frac{1}{4}}$ und $\frac{2.21429743 + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Schritt 9.4

Kombiniere $c$ und $\frac{{(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))}{4}$

Schritt 9.5

Kombiniere $i$ und $\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)))}{4}$

Schritt 9.6

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))))}{4}$

Schritt 9.7

Entferne die Klammern.

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Schritt 9.7.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))))}{4}$

Schritt 9.7.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)))}{4}$

Schritt 9.7.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{4}}) (2.21429743 + 2 π k))}{4}$

Schritt 9.7.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))}{4}$

Schritt 9.7.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{4}}) (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Schritt 9.7.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Schritt 9.7.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Schritt 10

Ersetze $k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{4})$

Schritt 10.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{4})$

Schritt 10.3

Subtrahiere $0.92729521$ von $3.14159265$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{4})$

Schritt 10.4

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{4})$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{4})$

Schritt 10.5

Addiere $2.21429743$ und $0$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743}{4})$

Schritt 10.6

Dividiere $2.21429743$ durch $4$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 0.55357435$

Schritt 10.7

Multipliziere $5^{\frac{1}{4}} c i s$ mit $0.55357435$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (0.55357435)$

Schritt 11

Ersetze $k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{4})$

Schritt 11.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{4})$

Schritt 11.3

Subtrahiere $0.92729521$ von $3.14159265$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{4})$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{4})$

Schritt 11.5

Addiere $2.21429743$ und $2 π$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{8.49748274}{4})$

Schritt 11.6

Dividiere $8.49748274$ durch $4$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 2.12437068$

Schritt 11.7

Multipliziere $5^{\frac{1}{4}} c i s$ mit $2.12437068$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (2.12437068)$

Schritt 12

Ersetze $k = 2$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (2)}{4})$

Schritt 12.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (2)}{4})$

Schritt 12.3

Subtrahiere $0.92729521$ von $3.14159265$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (2)}{4})$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 4 π}{4})$

Schritt 12.5

Addiere $2.21429743$ und $4 π$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{14.78066804}{4})$

Schritt 12.6

Dividiere $14.78066804$ durch $4$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 3.69516701$

Schritt 12.7

Multipliziere $5^{\frac{1}{4}} c i s$ mit $3.69516701$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (3.69516701)$

Schritt 13

Ersetze $k = 3$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 13.1

Entferne die Klammern.

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (3)}{4})$

Schritt 13.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (3)}{4})$

Schritt 13.3

Subtrahiere $0.92729521$ von $3.14159265$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (3)}{4})$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 6 π}{4})$

Schritt 13.5

Addiere $2.21429743$ und $6 π$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{21.06385335}{4})$

Schritt 13.6

Dividiere $21.06385335$ durch $4$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 5.26596333$

Schritt 13.7

Multipliziere $5^{\frac{1}{4}} c i s$ mit $5.26596333$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (5.26596333)$

Schritt 14

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (0.55357435)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (2.12437068)$

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (3.69516701)$

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (5.26596333)$